【根与系数的关系（随堂检测2017.9.2）】在初中数学的学习过程中，二次方程的根与系数之间的关系是一个非常重要的知识点。它不仅有助于我们快速求解方程的根，还能帮助我们在实际问题中进行更高效的分析和判断。本次随堂检测围绕“根与系数的关系”展开，旨在考查学生对这一数学规律的理解与应用能力。

题目一：已知一元二次方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，请写出它的两个根，并验证它们的和与积是否符合根与系数的关系。

解题思路：根据一元二次方程的一般形式 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其根与系数之间存在以下关系：

- 根的和为 $ -\frac{b}{a} $

- 根的积为 $ \frac{c}{a} $

对于本题中的方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，其中 $ a = 1 $，$ b = -5 $，$ c = 6 $。因此，根的和应为 $ -(-5)/1 = 5 $，根的积应为 $ 6/1 = 6 $。

通过因式分解，原方程可化为 $ (x - 2)(x - 3) = 0 $，所以两根分别为 $ x_1 = 2 $，$ x_2 = 3 $。显然，$ 2 + 3 = 5 $，$ 2 \times 3 = 6 $，完全符合根与系数的关系。

题目二：若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根分别为 $ 1 $ 和 $ -3 $，则 $ p $ 和 $ q $ 的值分别是多少？

解题思路：利用根与系数的关系，可以得出：

- 根的和为 $ 1 + (-3) = -2 $，即 $ -p = -2 $，所以 $ p = 2 $

- 根的积为 $ 1 \times (-3) = -3 $，即 $ q = -3 $

因此，该方程为 $ x^2 + 2x - 3 = 0 $。

题目三：已知一个一元二次方程的两个根为 $ m $ 和 $ n $，且满足 $ m + n = 4 $，$ mn = -5 $，请写出这个方程。

解题思路：根据根与系数的关系，若方程的两个根为 $ m $ 和 $ n $，则该方程可表示为：

$$

x^2 - (m + n)x + mn = 0

$$

代入已知条件，得：

$$

x^2 - 4x - 5 = 0

$$

这是一道典型的逆向应用题，考查学生是否能灵活运用根与系数的关系来构造方程。

总结：通过本次随堂检测可以看出，掌握“根与系数的关系”不仅能提高解题效率，还能增强学生对二次方程整体结构的理解。希望同学们在今后的学习中不断巩固这一知识点，提升数学思维能力。