【期望公式和方差公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量重要特征的两个核心概念。期望反映了随机变量的平均值或中心位置，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望和方差相关公式的总结。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为相应的概率。它表示的是长期重复实验下，随机变量的平均结果。
1. 离散型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
若 $ X $ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的离散程度。方差越大，说明数据越分散；反之，则越集中。
1. 方差的基本定义
对于任意随机变量 $ X $，其方差定义为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以通过展开公式简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
设 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应概率为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则方差公式为：
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差
若 $ X $ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则方差公式为：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
三、常见分布的期望与方差
| 分布名称 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
四、期望与方差的性质
| 性质 | 公式表达 |
| 线性性 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $ |
| 方差的线性性 | $ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $ |
| 独立变量的方差 | $ \text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) $ （若 $ X $ 和 $ Y $ 独立） |
| 协方差关系 | $ \text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y) $ |
五、总结
期望和方差是统计分析中的基本工具，广泛应用于概率模型、风险评估、数据分析等领域。理解它们的计算方式及性质，有助于更深入地掌握随机变量的行为特征，并为后续的统计推断打下坚实基础。
通过上述表格与文字结合的方式，可以清晰地掌握各类分布的期望与方差公式，以及期望与方差的基本性质，从而提升对概率统计的理解能力。
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