【等比数列的求和公式】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为一个常数，称为公比。等比数列的求和公式是解决相关问题的重要工具，广泛应用于数学、物理、经济等领域。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
- 通项公式：设首项为 $ a $，公比为 $ r $，则第 $ n $ 项为
$$
a_n = a \cdot r^{n-1}
$$
- 公比：$ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $
二、等比数列的求和公式
1. 有限项的求和（前 $ n $ 项和）
当等比数列有有限项时，其前 $ n $ 项和 $ S_n $ 的公式如下：
$$
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)
$$
或
$$
S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1)
$$
- 当 $ r = 1 $ 时，所有项相等，即 $ S_n = a \cdot n $
2. 无限项的求和（无穷等比数列）
当公比 $
$$
S = \frac{a}{1 - r}
$$
三、应用示例
| 公比 $ r $ | 首项 $ a $ | 项数 $ n $ | 求和公式 | 结果 |
| 2 | 3 | 5 | $ 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} $ | 93 |
| 1/2 | 4 | 6 | $ 4 \cdot \frac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} $ | 7.875 |
| 3 | 1 | 4 | $ 1 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} $ | 40 |
| 1/3 | 6 | ∞ | $ \frac{6}{1 - 1/3} $ | 9 |
四、总结
等比数列的求和公式是解决数列求和问题的核心工具。根据项数是否有限以及公比的大小，选择合适的公式进行计算是关键。掌握这些公式不仅有助于数学学习，还能在实际问题中发挥重要作用。
表格总结：
| 项目 | 公式 | ||
| 有限项和（$ r \neq 1 $） | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | ||
| 有限项和（$ r = 1 $） | $ S_n = a \cdot n $ | ||
| 无限项和（$ | r | < 1 $） | $ S = \frac{a}{1 - r} $ |
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