【《等差等比数列练习题以及基础知识点》】在高中数学的学习过程中，等差数列与等比数列是数列部分的重要内容。它们不仅是考试中的高频考点，也是后续学习函数、数列求和、递推关系等知识的基础。本文将系统梳理等差数列与等比数列的基本概念、公式及其常见题型，并提供一些典型的练习题供参考。
一、等差数列的基本概念
定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列叫做等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
若首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]
$$
性质：
- 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $
- 中间项等于前后项的平均值（适用于奇数项）
二、等比数列的基本概念
定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列叫做等比数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
通项公式：
若首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，则第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
前 $ n $ 项和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
性质：
- 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $
- 中间项的平方等于两边项的乘积（适用于奇数项）
三、常见题型与解题思路
1. 已知首项和公差/公比，求某一项或前几项和
例题：
已知等差数列首项为 3，公差为 5，求第 10 项及前 10 项和。
解：
$$
a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 5 = 3 + 45 = 48 \\
S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 48) = 5 \times 51 = 255
$$
2. 已知数列中某些项，求首项或公差/公比
例题：
等比数列中，已知 $ a_3 = 12 $，$ a_5 = 48 $，求公比 $ r $ 和首项 $ a_1 $。
解：
$$
a_3 = a_1 r^2 = 12 \\
a_5 = a_1 r^4 = 48 \\
\Rightarrow \frac{a_1 r^4}{a_1 r^2} = \frac{48}{12} \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2 \text{ 或 } -2
$$
代入得 $ a_1 = \frac{12}{r^2} = 3 $
四、练习题精选
1. 等差数列中，已知 $ a_1 = 5 $，$ a_6 = 25 $，求公差 $ d $ 和 $ a_{10} $ 的值。
2. 等比数列中，已知 $ a_2 = 6 $，$ a_4 = 54 $，求公比 $ r $ 及 $ a_5 $。
3. 求等差数列 3, 7, 11, 15,... 的前 20 项和。
4. 等比数列中，首项为 2，公比为 3，求前 5 项和。
5. 已知等差数列的第 3 项为 10，第 7 项为 22，求该数列的通项公式。
五、总结
等差数列与等比数列虽然形式不同，但都具有清晰的规律性与可计算性。掌握它们的通项公式、前 n 项和公式以及相关性质，是解决数列问题的关键。通过大量的练习题，可以进一步巩固理解，提高解题速度与准确率。
希望本文对你的学习有所帮助！
