【排列组合典型例题】排列组合是数学中一个非常重要的内容，尤其在高中阶段和各类考试中频繁出现。它不仅考察学生的逻辑思维能力，还涉及对问题的理解与分析能力。本文将通过几个典型的排列组合例题，帮助读者深入理解这一知识点。
一、基础概念回顾
排列（Permutation）：从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列，称为排列。其公式为：
$$
P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}
$$
组合（Combination）：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序，称为组合。其公式为：
$$
C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!}
$$
二、典型例题解析
例题1：从5个人中选出3人组成小组
问：有多少种不同的选法？
解题思路：
这里的问题是“选出3人”，不考虑顺序，因此应使用组合计算。
$$
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!} = \frac{20}{2} = 10
$$
答案：共有10种不同的选法。
例题2：由数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解题思路：
这是一个排列问题，因为数字不能重复，且顺序不同则结果不同。
$$
P(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60
$$
答案：可以组成60个不同的三位数。
例题3：有6个同学，其中2个是女生，其余是男生。从中选出3人参加比赛，要求至少有1个女生。问有多少种选法？
解题思路：
直接计算“至少1个女生”的情况可能比较复杂，可以采用“总选法 - 全部男生”的方式来简化计算。
- 总选法：从6人中选3人：
$$
C(6, 3) = 20
$$
- 全部男生的选法：从4个男生中选3人：
$$
C(4, 3) = 4
$$
- 至少1个女生的选法：
$$
20 - 4 = 16
$$
答案：共有16种符合条件的选法。
例题4：用0、1、2、3这四个数字能组成多少个无重复数字的三位数？
解题思路：
注意0不能作为百位数字，否则就不是三位数了。
- 百位可选：1、2、3 → 3种选择
- 十位可选：剩下的3个数字中的任意一个
- 个位可选：剩下的2个数字中的任意一个
所以总的组合数为：
$$
3 \times 3 \times 2 = 18
$$
答案：可以组成18个无重复数字的三位数。
三、总结
排列组合虽然看似简单，但实际应用中往往需要结合题目的具体条件进行灵活处理。掌握基本公式的同时，还要学会运用“分类讨论”、“排除法”等策略，提高解题效率和准确性。
希望以上例题能够帮助你更好地理解和应用排列组合的知识！
