【七年级上册数学实际问题与一元一次方程-行程问题训练(带答)】在七年级的数学学习中,实际问题与一元一次方程是重要的知识点之一。其中,行程问题是应用题中的常见类型,涉及速度、时间、路程之间的关系。这类题目不仅考查学生对基本公式的掌握,还锻炼了学生的逻辑思维能力和实际问题的分析能力。
一、行程问题的基本公式
行程问题中最常用的关系式为:
$$
\text{路程} = \text{速度} \times \text{时间}
$$
或用字母表示为:
$$
s = v \times t
$$
其中:
- $ s $ 表示路程(单位:千米、米等)
- $ v $ 表示速度(单位:千米/小时、米/秒等)
- $ t $ 表示时间(单位:小时、秒等)
二、常见的行程问题类型
1. 相遇问题:两人或两车从不同地点出发,相向而行,直到相遇。
2. 追及问题:两人或两车同方向行驶,速度快的一方追上速度慢的一方。
3. 环形跑道问题:围绕一个环形路线运动,计算相遇次数或时间。
4. 顺流逆流问题:涉及水流速度的影响,如船在静水和水流中的速度变化。
三、例题讲解
例题1:相遇问题
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。甲的速度是5 km/h,乙的速度是7 km/h,两地相距36 km。问他们经过多少小时后相遇?
解题思路:
两人相向而行,总路程为36 km,设时间为 $ t $ 小时。
甲走的路程为 $ 5t $,乙走的路程为 $ 7t $,两人相遇时总路程等于36 km:
$$
5t + 7t = 36
$$
$$
12t = 36
$$
$$
t = 3
$$
答:他们经过3小时后相遇。
例题2:追及问题
小明骑自行车以每小时10 km的速度从学校出发,1小时后,小强以每小时15 km的速度从同一地点出发追赶小明。问小强需要多少小时才能追上小明?
解题思路:
小明先出发1小时,走了 $ 10 \times 1 = 10 $ km。
设小强出发后 $ t $ 小时追上小明,则小明此时总共走了 $ 10 + 10t $ km,小强走了 $ 15t $ km。
当小强追上小明时,两人走的路程相等:
$$
15t = 10 + 10t
$$
$$
5t = 10
$$
$$
t = 2
$$
答:小强需要2小时才能追上小明。
例题3:顺流逆流问题
一艘船在静水中速度为12 km/h,水流速度为2 km/h。该船从A地出发,顺流而下到B地,再逆流返回A地,共用时6小时。求A、B两地之间的距离。
解题思路:
顺流速度为 $ 12 + 2 = 14 $ km/h
逆流速度为 $ 12 - 2 = 10 $ km/h
设两地距离为 $ x $ km。
顺流所需时间为 $ \frac{x}{14} $ 小时,逆流所需时间为 $ \frac{x}{10} $ 小时。
总时间为6小时:
$$
\frac{x}{14} + \frac{x}{10} = 6
$$
通分得:
$$
\frac{5x + 7x}{70} = 6
$$
$$
\frac{12x}{70} = 6
$$
$$
12x = 420
$$
$$
x = 35
$$
答:A、B两地之间的距离为35 km。
四、练习题(带答案)
1. 甲、乙两人同时从相距200米的两个点出发,甲的速度是5 m/s,乙的速度是3 m/s,相向而行,问几秒后相遇?
答案:25秒
2. 一辆汽车以60 km/h的速度从A地出发,2小时后,另一辆汽车从A地出发以80 km/h的速度追赶,问多久后能追上?
答案:6小时
3. 一艘船在静水中速度为15 km/h,水流速度为3 km/h,顺流航行1小时后,立即返回,问全程共用多少小时?
答案:1.2小时
五、总结
通过学习和练习行程问题,同学们可以更好地理解一元一次方程在现实生活中的应用。掌握基本公式、灵活运用变量设定,并结合实际情境进行分析,是解决这类问题的关键。
希望同学们在今后的学习中不断积累经验,提升自己的数学应用能力!