【高三数学大一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案理】一、教学目标
1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式，能够灵活运用这些关系进行化简与求值。
2. 掌握三角函数的诱导公式，能利用公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
3. 提高学生在解决三角函数问题时的逻辑思维能力和运算能力。
二、知识点梳理
（一）同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系
$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
$$
2. 商数关系
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0)
$$
3. 倒数关系
$$
\sin\theta \cdot \csc\theta = 1, \quad \cos\theta \cdot \sec\theta = 1, \quad \tan\theta \cdot \cot\theta = 1
$$
注意：使用这些关系时，要结合角所在的象限判断三角函数的正负号。
（二）三角函数的诱导公式
诱导公式是将任意角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数的重要工具。常见的诱导公式如下：
| 角 | 公式 |
|----|------|
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin\theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(2\pi - \theta)$ | $\cos\theta$ |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos\theta$ |
此外，还有关于$\frac{\pi}{2} \pm \theta$的诱导公式：
- $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$
- $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$
- $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta$
- $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta$
三、典型例题解析
例题1：
已知$\sin\theta = \frac{3}{5}$，且$\theta$在第二象限，求$\cos\theta$和$\tan\theta$的值。
解：
由$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$得：
$$
\cos^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
$$
$$
\cos\theta = \pm \frac{4}{5}
$$
由于$\theta$在第二象限，$\cos\theta < 0$，所以$\cos\theta = -\frac{4}{5}$。
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
$$
例题2：
计算$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$的值。
解：
$$
\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}
$$
根据诱导公式：
$$
\sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}
$$
四、易错点提醒
1. 在使用诱导公式时，一定要注意角所在的象限，从而确定三角函数的符号。
2. 同角三角函数的关系式中，若已知一个三角函数的值，应先判断其所在的象限，再确定其他三角函数的符号。
3. 避免混淆诱导公式中的角度变换，如$\sin(\pi + \theta)$与$\sin(\pi - \theta)$的区别。
五、课堂练习
1. 已知$\cos\theta = -\frac{4}{5}$，且$\theta$在第三象限，求$\sin\theta$和$\tan\theta$的值。
2. 化简：$\sin(2\pi - \theta) + \cos(\pi + \theta)$。
3. 计算$\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)$的值。
六、课后拓展
尝试用诱导公式推导$\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right)$和$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right)$的表达式，并验证其正确性。
七、小结
本节内容主要围绕同角三角函数的基本关系式和诱导公式展开，通过理解和掌握这些公式，可以有效地解决三角函数的化简、求值等问题。建议多做相关练习，提升对公式的熟练程度和应用能力。
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备注：本学案适用于高三数学一轮复习，适合理科生系统学习和巩固三角函数知识。
