【反三角函数公式汇总】在数学中，反三角函数是三角函数的反函数，用于求解角度的值。它们在微积分、物理和工程等领域有着广泛的应用。本文将对常见的反三角函数及其相关公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本定义
反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等，其定义域和值域如下：
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | arcsin(x) | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| 反余弦 | arccos(x) | [-1, 1] | [0, π] |
| 反正切 | arctan(x) | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
二、常见公式汇总
以下是反三角函数的一些重要公式，包括导数、积分、恒等式等：
1. 导数公式
| 函数名称 | 导数表达式 |
| arcsin(x) | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| arccos(x) | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| arctan(x) | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
2. 积分公式
| 函数名称 | 积分表达式 |
| arcsin(x) | $ x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| arccos(x) | $ x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| arctan(x) | $ x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
3. 互为补角关系
| 公式 | 说明 |
| $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $ | 正弦与余弦互为补角 |
| $ \arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} $ | 正切与余切互为补角 |
4. 对称性与奇偶性
| 函数名称 | 对称性 | 奇偶性 |
| arcsin(x) | $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $ | 奇函数 |
| arccos(x) | $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $ | 非奇非偶 |
| arctan(x) | $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $ | 奇函数 |
5. 和差公式
| 公式 | 说明 |
| $ \arctan(a) + \arctan(b) = \arctan\left( \frac{a + b}{1 - ab} \right) $ | 当 $ ab < 1 $ 时成立 |
| $ \arctan(a) - \arctan(b) = \arctan\left( \frac{a - b}{1 + ab} \right) $ | 当 $ ab > -1 $ 时成立 |
三、常用数值表（近似值）
以下是一些常见反三角函数的近似值，便于快速查阅：
| x | arcsin(x) (rad) | arccos(x) (rad) | arctan(x) (rad) |
| 0 | 0 | π/2 | 0 |
| 0.5 | π/6 ≈ 0.5236 | π/3 ≈ 1.0472 | π/6 ≈ 0.5236 |
| √2/2 | π/4 ≈ 0.7854 | π/4 ≈ 0.7854 | π/4 ≈ 0.7854 |
| 1 | π/2 ≈ 1.5708 | 0 | π/4 ≈ 0.7854 |
| -0.5 | -π/6 ≈ -0.5236 | π - π/6 ≈ 2.6180 | -π/6 ≈ -0.5236 |
四、总结
反三角函数是解决三角函数问题的重要工具，尤其在求解角度或积分时非常有用。掌握其基本定义、导数、积分以及一些重要的恒等式，有助于更高效地应用这些函数于实际问题中。通过上述表格可以快速查阅各种公式和数值，提高学习与工作的效率。
以上就是【反三角函数公式汇总】相关内容，希望对您有所帮助。
