【三角函数涉及的所有公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程、计算机科学等领域。为了便于学习和查阅，本文对三角函数的基本公式进行了系统总结，并以表格形式进行展示，帮助读者快速掌握相关知识。
一、基本定义
三角函数通常定义在直角三角形或单位圆上，常见的六种三角函数如下：
| 函数名称 | 定义式（直角三角形） | 定义式（单位圆） |
| 正弦 | 对边 / 斜边 | y |
| 余弦 | 邻边 / 斜边 | x |
| 正切 | 对边 / 邻边 | y/x |
| 余切 | 邻边 / 对边 | x/y |
| 正割 | 斜边 / 邻边 | 1/x |
| 余割 | 斜边 / 对边 | 1/y |
二、基本恒等式
三角函数之间存在许多重要的恒等关系，这些恒等式可以帮助简化计算和推导。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1/cscθ, cosθ = 1/secθ, tanθ = 1/cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | |
| 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角的三角函数转换为锐角的三角函数，适用于不同象限的情况。
| 角度变换 | 公式表达式 |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ, cos(π/2 - θ) = sinθ |
| π/2 + θ | sin(π/2 + θ) = cosθ, cos(π/2 + θ) = -sinθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ, cos(π + θ) = -cosθ |
| 2π - θ | sin(2π - θ) = -sinθ, cos(2π - θ) = cosθ |
四、和差角公式
用于计算两个角度的和或差的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
用于计算角度的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
| 正弦三倍角 | sin3θ = 3sinθ - 4sin³θ |
| 余弦三倍角 | cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ |
六、半角公式
用于计算角度的一半的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、积化和差与和差化积
这些公式用于将乘积形式的三角函数转化为和差形式，反之亦然。
积化和差公式：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA sinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
和差化积公式：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
八、反三角函数基本公式
反三角函数是三角函数的反函数，常用于求解角度。
| 函数名称 | 定义域 | 值域 |
| arcsin | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
九、三角函数图像与性质
| 函数名称 | 图像形状 | 周期 | 定义域 | 值域 |
| sinθ | 波浪线 | 2π | R | [-1, 1] |
| cosθ | 波浪线 | 2π | R | [-1, 1] |
| tanθ | 双曲线 | π | R\{kπ + π/2} | R |
| cotθ | 双曲线 | π | R\{kπ} | R |
| secθ | 双曲线 | 2π | R\{kπ + π/2} | (-∞, -1] ∪ [1, +∞) |
| cscθ | 双曲线 | 2π | R\{kπ} | (-∞, -1] ∪ [1, +∞) |
通过以上内容，可以全面了解三角函数的相关公式及其应用范围。掌握这些公式有助于提高解题效率，尤其在考试、竞赛和实际问题中具有重要意义。建议结合图形理解记忆，加深对三角函数本质的认识。
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