【三角恒等变形公式总结】在数学学习中，三角恒等式是解决三角函数相关问题的重要工具。掌握这些公式不仅有助于简化计算，还能提高解题效率。本文对常见的三角恒等变形公式进行系统总结，帮助读者更好地理解和应用。
一、基本三角恒等式
1. 平方关系
- $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
- $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
- $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$
2. 倒数关系
- $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$
- $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$
- $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$
3. 商数关系
- $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
- $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
二、诱导公式（角度变换）
| 角度 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
| $-\theta$ | $-\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $-\tan \theta$ |
| $\pi - \theta$ | $\sin \theta$ | $-\cos \theta$ | $-\tan \theta$ |
| $\pi + \theta$ | $-\sin \theta$ | $-\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
| $2\pi - \theta$ | $-\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $-\tan \theta$ |
三、和差角公式
1. 正弦
- $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
2. 余弦
- $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
3. 正切
- $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$
四、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin 2\theta$ | $2\sin \theta \cos \theta$ |
| $\cos 2\theta$ | $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ 或 $2\cos^2 \theta - 1$ 或 $1 - 2\sin^2 \theta$ |
| $\tan 2\theta$ | $\frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ |
五、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ |
| $\cos \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ |
| $\tan \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$ 或 $\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ |
六、积化和差与和差化积公式
积化和差：
- $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$
- $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$
- $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$
和差化积：
- $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$
- $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)$
- $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$
- $\cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)$
七、其他常用公式
- $\sin^3 \theta = \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4}$
- $\cos^3 \theta = \frac{3\cos \theta + \cos 3\theta}{4}$
- $\tan^3 \theta = \frac{3\tan \theta - \tan 3\theta}{1 - 3\tan^2 \theta}$
总结
三角恒等变形公式是三角函数运算中的核心内容，熟练掌握这些公式不仅能提高解题速度，还能增强逻辑推理能力。建议在实际练习中不断应用这些公式，逐步形成自己的解题思路和方法。
通过表格形式的整理，可以更清晰地看到各个公式的结构和使用范围，便于记忆与查阅。希望本文能为你的学习提供帮助！
以上就是【三角恒等变形公式总结】相关内容，希望对您有所帮助。
