【复数公式及运算法则】在数学中，复数是一个重要的概念，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。复数由实部和虚部组成，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。以下是对复数的基本公式及运算法则的总结。
一、复数的基本表示
| 表示形式 | 说明 | ||
| 代数形式 | $ z = a + bi $，其中 $ a, b \in \mathbb{R} $ | ||
| 极坐标形式 | $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $，其中 $ r = | z | = \sqrt{a^2 + b^2} $，$ \theta = \arg(z) $ |
| 指数形式 | $ z = re^{i\theta} $，其中 $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $ |
二、复数的运算规则
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | 实部与实部相加，虚部与虚部相加 | ||
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | 实部与实部相减，虚部与虚部相减 | ||
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 使用分配律展开并合并同类项 | ||
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} $ | 通过共轭分母有理化处理 | ||
| 共轭复数 | $ \overline{z} = a - bi $ | 实部不变，虚部取反 | ||
| 模长 | $ | z | = \sqrt{a^2 + b^2} $ | 复数到原点的距离 |
| 幂运算 | $ z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) $ 或 $ z^n = r^n e^{in\theta} $ | 利用德莫弗定理进行计算 | ||
| 根运算 | $ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) $，$ k = 0, 1, ..., n-1 $ | 复数的 $ n $ 次根有 $ n $ 个解 |
三、常用复数公式
| 公式 | 说明 |
| $ i^2 = -1 $ | 虚数单位的定义 |
| $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $ | 欧拉公式 |
| $ \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} $ | 余弦函数的指数表达式 |
| $ \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} $ | 正弦函数的指数表达式 |
| $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ | 常规三角函数关系 |
四、总结
复数是数学中一个强大而灵活的工具，能够解决实数无法处理的问题。掌握复数的表示方法和基本运算规则，有助于更深入地理解复变函数、信号处理、电路分析等领域的知识。通过表格形式的归纳，可以更加清晰地掌握复数的公式与运算法则，提升学习效率和应用能力。
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