近日，【2021年国开电大经济数学基础12形考任务4计算题答案】引发关注。在2021年国家开放大学《经济数学基础12》课程中，形考任务4主要考察学生对微分方程、积分应用以及线性代数等知识点的掌握情况。本任务以计算题为主，要求学生能够熟练运用数学工具解决实际问题。以下为该任务中典型计算题的解答总结。
一、题目类型与解题思路
本次任务共包含5道计算题，涵盖以下几类：
| 题目编号 | 题目类型 | 考察知识点 | 解题思路简述 |
| 1 | 微分方程求解 | 一阶线性微分方程 | 使用积分因子法 |
| 2 | 定积分计算 | 不定积分与定积分 | 求原函数后代入上下限 |
| 3 | 矩阵运算 | 矩阵加减、乘法 | 按照矩阵运算法则进行计算 |
| 4 | 极值问题 | 多元函数极值 | 求偏导数并解方程组 |
| 5 | 应用题（利润最大） | 优化问题 | 建立目标函数并求导 |
二、详细答案解析
题目1：求解微分方程
题目：求微分方程 $ y' + 2y = e^x $ 的通解。
解答：
这是一个一阶线性微分方程，使用积分因子法求解。
积分因子为 $ \mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x} $。
两边同乘以积分因子得：
$$
e^{2x} y' + 2e^{2x} y = e^{3x}
$$
左边为 $ (e^{2x} y)' $，右边积分得：
$$
\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C
$$
因此，通解为：
$$
e^{2x} y = \frac{1}{3} e^{3x} + C \Rightarrow y = \frac{1}{3} e^x + Ce^{-2x}
$$
题目2：计算定积分
题目：计算 $ \int_0^1 x^2 e^x dx $
解答：
使用分部积分法，设 $ u = x^2 $, $ dv = e^x dx $，则 $ du = 2x dx $, $ v = e^x $。
$$
\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx
$$
再次分部积分 $ \int 2x e^x dx $：
$$
= 2(x e^x - \int e^x dx) = 2x e^x - 2e^x
$$
因此，原式为：
$$
| x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x]_0^1 = (1 \cdot e - 2 \cdot e + 2e) - (0 - 0 + 2 \cdot 1) = e - 2 $$ 题目3：矩阵运算 题目：已知矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，$ B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，计算 $ A + B $ 和 $ AB $。 解答： - $ A + B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} $ - $ AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 0 & 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 6 & 15 \end{bmatrix} $ 题目4：求极值 题目：求函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y $ 的极值。 解答： 求偏导数并令其为零： $$ f_x = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ f_y = 2y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2 $$ 临界点为 $ (1, 2) $。 二阶偏导数判断： $$ f_{xx} = 2, \quad f_{yy} = 2, \quad f_{xy} = 0 \Rightarrow D = 4 > 0 $$ 因为 $ f_{xx} > 0 $，故 $ (1, 2) $ 是极小值点。 题目5：应用题（利润最大化） 题目：某公司生产一种产品，成本函数为 $ C(x) = 500 + 10x $，价格函数为 $ p(x) = 100 - 2x $，求利润最大时的产量和最大利润。 解答： 利润函数为： $$ L(x) = R(x) - C(x) = x(100 - 2x) - (500 + 10x) = -2x^2 + 90x - 500 $$ 求导并令导数为零： $$ L'(x) = -4x + 90 = 0 \Rightarrow x = 22.5 $$ 由于产量应为整数，取 $ x = 22 $ 或 $ x = 23 $，代入计算最大利润。 最终最大利润约为 $ L(22) = 1002 $，或 $ L(23) = 1002 $，取 $ x = 22 $ 或 $ x = 23 $ 即可。 三、总结 通过本次形考任务4的计算题练习，学生可以进一步巩固对微分方程、积分计算、矩阵运算、多元函数极值及经济应用问题的理解。建议在学习过程中多做练习，理解每一步推导的意义，避免死记硬背。 如需更多例题讲解或拓展内容，可继续关注相关教学资源。 以上就是【2021年国开电大经济数学基础12形考任务4计算题答案】相关内容，希望对您有所帮助。 免责声明：本答案或内容为用户上传，不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。 |
