【立体几何综合测试题.docx】一、选择题（每小题5分，共20分）

1. 在空间中，下列说法正确的是（ ）

A. 两条不相交的直线一定平行

B. 两个平面如果有一个公共点，则它们一定相交于一条直线

C. 一个平面内有无数条直线与另一个平面平行

D. 两条异面直线可以确定一个平面

2. 已知一个正方体的棱长为2，其外接球的半径为（ ）

A. √3

B. 2√3

C. √2

D. 2

3. 一个圆锥的底面半径为3，高为4，它的体积是（ ）

A. 12π

B. 9π

C. 6π

D. 18π

4. 若一个三棱柱的底面是一个等边三角形，边长为2，侧棱长为3，且侧棱与底面垂直，则该三棱柱的表面积为（ ）

A. 12 + 3√3

B. 12 + 6√3

C. 6 + 6√3

D. 18 + 6√3

二、填空题（每小题5分，共10分）

5. 一个正四面体的棱长为a，则其高为________。

6. 一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则其对角线长度为________。

三、解答题（共70分）

7. （本题10分）

已知一个正三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，求该三棱柱的体积和表面积。

8. （本题15分）

在空间直角坐标系中，点A(1, 2, 3)，点B(4, 5, 6)，点C(2, 3, 4)。

（1）求向量AB与向量AC的夹角；

（2）判断三点A、B、C是否共线。

9. （本题15分）

一个圆柱的高为h，底面半径为r，若将该圆柱沿某条母线切开并展开成一个矩形，求这个矩形的面积和周长。

10. （本题15分）

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点，F为CC₁的中点。

（1）证明：EF与BD₁平行；

（2）求EF与平面ABCD所成的角的正弦值。

11. （本题15分）

设一个四面体的顶点为A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，D(0, 0, 1)。

（1）求四面体的体积；

（2）求平面BCD的方程；

（3）求点A到平面BCD的距离。

参考答案（供教师使用）

一、选择题

1. B

2. A

3. A

4. B

二、填空题

5. (√6/3)a

6. √(3² + 4² + 5²) = √50 = 5√2

三、解答题

7. 体积为3√3，表面积为6 + 6√3

8. （1）cosθ = 1/√3，θ ≈ 54.7°；（2）不共线

9. 面积为2πrh，周长为2(r + h)

10. （1）利用向量法证明；（2）sinθ = √2/2

11. （1）1/6；（2）x + y + z = 1；（3）√3/3

说明：

本试卷内容涵盖立体几何的基本概念、公式计算、空间向量、几何体的性质及应用，适合用于高中阶段数学教学的阶段性检测或复习巩固。