【常用积分公式表】在数学学习和应用过程中，积分是不可或缺的一部分。无论是微积分的基础知识，还是工程、物理、经济等领域的实际问题，积分都扮演着重要角色。为了帮助大家更高效地掌握积分运算，以下整理了一份常用积分公式表，涵盖基本初等函数的积分形式及其应用技巧。
一、基本积分公式
1. 常数函数
$$
\int a \, dx = ax + C
$$
2. 幂函数
$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$
3. 指数函数
$$
\int e^x \, dx = e^x + C \\
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)
$$
4. 对数函数
$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \\
\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C
$$
5. 三角函数
$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C \\
\int \cos x \, dx = \sin x + C \\
\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C \\
\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C \\
\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \\
\int \csc x \, dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C
$$
6. 反三角函数
$$
\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C \\
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C \\
\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C \\
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C
$$
二、常见积分技巧
1. 换元法（变量替换）
$$
\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \quad (u = g(x))
$$
2. 分部积分法
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
3. 有理函数分解
对于形如 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的有理函数，可将其分解为部分分式进行积分。
4. 三角代换
在遇到 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$、$\sqrt{x^2 - a^2}$ 等形式时，可以使用相应的三角代换简化积分。
三、特殊函数积分
1. 伽马函数
$$
\Gamma(n) = \int_0^\infty x^{n-1} e^{-x} \, dx
$$
其中，当 $n$ 为正整数时，$\Gamma(n) = (n-1)!$
2. 贝塔函数
$$
B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1 - x)^{q-1} \, dx
$$
四、定积分与不定积分的区别
- 不定积分：表示原函数的一般形式，包含任意常数 $C$。
- 定积分：计算函数在某一区间上的积分值，结果为一个数值。
五、总结
掌握这些常用积分公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对积分本质的理解。在实际应用中，灵活运用换元法、分部积分等技巧，往往能解决复杂的积分问题。建议结合练习题反复巩固，以达到熟练应用的目的。
通过这份常用积分公式表，希望你能够更加轻松地应对积分相关的学习和实践任务。数学的世界虽复杂多变，但只要方法得当，便能迎刃而解。
