【大一高数练习题】在大学的数学课程中，高等数学（简称“高数”）是许多理工科学生必修的一门基础课程。它不仅为后续的专业课程打下坚实的数学基础，同时也是培养逻辑思维和抽象能力的重要工具。对于刚进入大学的大一新生来说，高数的学习既是挑战，也是机遇。

为了帮助同学们更好地掌握高数知识，下面提供一些典型的练习题，涵盖函数、极限、导数、积分等核心内容。这些题目旨在巩固基础知识，提升解题技巧，并为考试做好充分准备。

一、函数与极限

1. 求下列函数的定义域：

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} $$

提示： 分母不能为零，根号内必须非负。

2. 计算极限：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} $$

提示： 利用重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

3. 已知：

$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 5 $$

求常数 $a$ 和 $b$ 的值。

提示： 极限存在说明分子在 $x=1$ 处也趋于零，因此可以使用洛必达法则或因式分解。

二、导数与微分

4. 求函数 $f(x) = \ln(\sin x)$ 的导数。

提示： 使用链式法则。

5. 设 $y = e^{x^2}$，求 $\frac{dy}{dx}$。

提示： 同样使用链式法则。

6. 求曲线 $y = x^3 - 3x$ 在点 $x=1$ 处的切线方程。

提示： 先求导，再代入点坐标计算切线斜率。

三、积分与应用

7. 计算定积分：

$$ \int_0^1 (2x + 3) dx $$

提示： 直接积分后代入上下限即可。

8. 求不定积分：

$$ \int \frac{1}{x^2 + 4} dx $$

提示： 可以利用反正切函数的积分公式。

9. 由曲线 $y = x^2$ 和直线 $y = 2x$ 所围成的图形面积是多少？

提示： 先找交点，再确定积分区间，最后计算面积。

四、综合练习

10. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$，求其极值点并判断是极大值还是极小值。

提示： 先求导，找出临界点，再通过二阶导数或符号变化判断极值类型。

小结：

高数作为一门基础学科，理解概念、掌握方法、勤于练习是学好它的关键。建议同学们在做题时注重思路的清晰性，遇到困难不要轻易放弃，多查阅资料、请教老师或同学，逐步提高自己的数学素养。

希望这份练习题能对你的学习有所帮助！坚持下去，你会发现自己在数学上的进步远超想象。