【数学思维专题训练试题】在当今教育体系中，数学不仅是一门基础学科，更是培养逻辑推理、抽象思维和问题解决能力的重要工具。随着教育理念的不断更新，越来越多的教师和家长开始重视“数学思维”的训练，而不仅仅是知识的灌输。因此，针对学生进行系统化的数学思维专题训练，成为提升其综合能力的有效途径。
本套试题旨在通过一系列具有挑战性的问题，激发学生的探索精神与独立思考能力，帮助他们在解题过程中逐步建立起严谨的数学思维方式。试题内容涵盖数与代数、几何、组合数学、逻辑推理等多个方面，既注重基础知识的巩固，也强调思维灵活性的培养。
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 若 $ a + b = 7 $，$ ab = 12 $，则 $ a^2 + b^2 $ 的值为（ ）
A. 19
B. 25
C. 37
D. 49
2. 在一个正方形中，若从顶点出发画两条对角线，那么形成的四个三角形面积之比是（ ）
A. 1:1:1:1
B. 1:2:1:2
C. 1:1:2:2
D. 不确定
3. 设集合 $ A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 5x + 6 < 0\} $，则集合 A 中元素的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 某人从甲地到乙地，先以每小时 6 公里的速度走了 2 小时，再以每小时 4 公里的速度走了 3 小时，问平均速度为多少？
A. 4.8 km/h
B. 5 km/h
C. 5.2 km/h
D. 5.5 km/h
二、填空题（每空5分，共20分）
1. 若 $ \frac{x}{y} = 3 $，且 $ x + y = 16 $，则 $ x = $ ______。
2. 一个等腰三角形的底边长为 6，两腰各为 5，则其高为 ______。
3. 若 $ 2^{x} = 16 $，则 $ x = $ ______。
4. 一个圆柱体的体积为 $ 12\pi $，底面半径为 2，则其高为 ______。
三、解答题（每题10分，共30分）
1. 解方程：$ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $。
2. 已知 $ a : b = 3 : 5 $，且 $ a + b = 16 $，求 $ a $ 和 $ b $ 的值。
3. 如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 AB 边上的一点，F 是 AD 边上的一点，连接 CE 和 CF，形成两个小三角形。已知矩形面积为 24，CE 和 CF 分别将矩形分成面积相等的两部分，求 EF 的长度。
四、拓展题（10分）
某班有 40 名学生，其中 25 人喜欢数学，20 人喜欢语文，10 人两门都喜欢。问至少有多少人不喜欢这两门科目？
答案参考：
一、选择题
1. C
2. A
3. B
4. A
二、填空题
1. 12
2. 4
3. 4
4. 3
三、解答题
1. $ x = 2 $ 或 $ x = \frac{1}{2} $
2. $ a = 6 $，$ b = 10 $
3. $ EF = 2\sqrt{2} $
四、拓展题
至少有 5 人不喜欢这两门科目。
通过这样的专题训练，学生不仅可以掌握基本的数学知识，还能在解题过程中锻炼自己的分析能力与创新意识。数学思维的培养是一个长期的过程，只有不断练习与思考，才能真正实现质的飞跃。
