【GCT数学模拟试题】在备考GCT（工程硕士研究生入学考试）的过程中，数学部分往往是考生们关注的重点之一。为了帮助考生更好地掌握考试内容、熟悉题型和提升解题能力，本文提供一套精心设计的“GCT数学模拟试题”，旨在模拟真实考试环境，帮助考生查漏补缺、巩固知识。
一、选择题（每题5分，共10题）
1. 若集合 $ A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 < 0\} $，则 $ A $ 的取值范围是（ ）
A. $ (1, 3) $
B. $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $
C. $ [1, 3] $
D. $ \emptyset $
2. 已知 $ f(x) = \frac{1}{x+1} $，则 $ f(f(0)) $ 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. $ \frac{1}{2} $
D. 不存在
3. 设 $ a > 0 $，且 $ \log_2 a = 3 $，则 $ a $ 的值为（ ）
A. 6
B. 8
C. 9
D. 12
4. 已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, -1) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 若函数 $ y = \sin(2x) $ 在区间 $ [0, \pi] $ 上的最大值为（ ）
A. 0
B. 1
C. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ \frac{1}{2} $
6. 设 $ \triangle ABC $ 中，角 $ A $、$ B $、$ C $ 对应边分别为 $ a $、$ b $、$ c $，若 $ a = 2 $，$ b = 3 $，$ c = 4 $，则角 $ C $ 的余弦值为（ ）
A. $ \frac{1}{4} $
B. $ \frac{1}{2} $
C. $ \frac{3}{4} $
D. $ \frac{7}{8} $
7. 若 $ x^2 + y^2 = 25 $，则点 $ (x, y) $ 到原点的距离为（ ）
A. 5
B. 10
C. 25
D. 不确定
8. 若 $ \int_0^1 x^2 dx = $（ ）
A. $ \frac{1}{2} $
B. $ \frac{1}{3} $
C. $ \frac{1}{4} $
D. $ \frac{1}{5} $
9. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = $（ ）
A. 0
B. 1
C. $ \frac{1}{2} $
D. 不存在
10. 若 $ z = 1 + i $，则 $ |z| $ 的值为（ ）
A. 1
B. $ \sqrt{2} $
C. 2
D. 3
二、填空题（每题5分，共5题）
11. 函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $ 的导数为 ________。
12. 若 $ \tan \theta = \frac{1}{2} $，则 $ \sin \theta = $ ________。
13. 方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解为 ________。
14. 若 $ \vec{a} = (2, -1) $，$ \vec{b} = (3, 4) $，则 $ |\vec{a} + \vec{b}| = $ ________。
15. 数列 $ 1, 3, 5, 7, \ldots $ 的第 $ n $ 项为 ________。
三、解答题（每题10分，共2题）
16. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $，求其极值点及极值。
17. 某工厂生产一种产品，成本函数为 $ C(x) = 500 + 20x $，售价为 $ p(x) = 100 - 2x $，求利润最大时的产量 $ x $。
答案参考（供参考）
选择题答案：
1. A
2. C
3. B
4. A
5. B
6. D
7. A
8. B
9. B
10. B
填空题答案：
11. $ \frac{2x}{x^2 + 1} $
12. $ \frac{\sqrt{5}}{5} $ 或 $ \frac{1}{\sqrt{5}} $
13. $ x = 1 $ 或 $ x = 3 $
14. $ \sqrt{10} $
15. $ 2n - 1 $
解答题略
本套试题涵盖了GCT数学考试中常见的知识点，包括代数、几何、微积分、函数与极限等内容。建议考生在规定时间内完成，以检验自己的综合运用能力和应试水平。通过不断练习，逐步提高解题速度和准确率，为正式考试打下坚实基础。
