【高考数学（试题汇编及第一节及平面向量的线性运算、平面向量基本定理）】在高考数学中，平面向量是重要的知识点之一，尤其在解析几何和向量代数部分占据重要地位。第一节内容主要围绕“平面向量的线性运算”与“平面向量基本定理”展开，是后续学习向量数量积、向量坐标表示等知识的基础。
一、平面向量的线性运算
平面向量的线性运算主要包括向量的加法、减法以及数乘运算，这些运算是解决向量问题的核心工具。
1. 向量的加法
向量的加法遵循三角形法则或平行四边形法则。若向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 分别表示两个位移，则它们的和 $\vec{a} + \vec{b}$ 表示从起点到终点的总位移。
- 几何意义：首尾相连，结果为从第一个向量的起点到第二个向量的终点的向量。
- 代数表示：若 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则 $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
2. 向量的减法
向量的减法可以转化为加法运算，即 $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$。
- 几何意义：从 $\vec{b}$ 的终点指向 $\vec{a}$ 的终点。
- 代数表示：$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
3. 向量的数乘运算
数乘是指将一个向量乘以一个实数 $k$，得到一个新的向量 $k\vec{a}$。
- 若 $k > 0$，方向不变，长度变为原来的 $k$ 倍；
- 若 $k < 0$，方向相反，长度仍为 $|k|$ 倍。
- 代数表示：$k\vec{a} = (kx, ky)$。
二、平面向量基本定理
平面向量基本定理是向量理论中的一个核心定理，它说明了在平面内，任意一个向量都可以由两个不共线的向量线性表示。
定理
设 $\vec{e}_1$ 和 $\vec{e}_2$ 是同一平面内两个不共线的向量（即基底），则对于该平面内的任意一个向量 $\vec{a}$，存在唯一的一对实数 $x$、$y$，使得
$$
\vec{a} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2
$$
其中，$x$、$y$ 称为向量 $\vec{a}$ 在基底 $\vec{e}_1$、$\vec{e}_2$ 下的坐标。
应用：
- 通过选择合适的基底，可以将复杂的向量问题转化为代数运算；
- 在解析几何中，常选取单位正交基底（如 $\vec{i} = (1, 0)$，$\vec{j} = (0, 1)$）来简化计算；
- 在物理中，用于分解力、速度等矢量。
三、典型例题解析
例题1：
已知 $\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 4)$，求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$。
解：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)
$$
$$
\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-1), 3 - 4) = (3, -1)
$$
例题2：
设 $\vec{e}_1 = (1, 0)$，$\vec{e}_2 = (0, 1)$，若 $\vec{a} = 3\vec{e}_1 - 2\vec{e}_2$，求 $\vec{a}$ 的坐标。
解：
$$
\vec{a} = 3(1, 0) - 2(0, 1) = (3, 0) + (0, -2) = (3, -2)
$$
四、常见误区与注意事项
1. 混淆向量与标量：向量具有方向性，不能简单地用数值比较大小；
2. 忽略向量的方向：在进行向量加减时，必须注意方向的变化；
3. 基底的选择：在使用平面向量基本定理时，要确保所选基底不共线；
4. 数乘的符号处理：负号会影响向量的方向，需特别注意。
五、总结
本节内容是高考数学中向量部分的基础，掌握好平面向量的线性运算和基本定理，不仅有助于理解后续的向量应用问题，也能为解题提供清晰的思路和方法。建议通过大量练习巩固基础知识，提升综合运用能力。
提示：在备考过程中，应注重理解向量的几何意义与代数表达之间的关系，灵活运用定理解决实际问题。
