【一次函数(练习题及及答案)】在初中数学中,一次函数是一个重要的知识点,它不仅在考试中频繁出现,而且在实际生活中也有广泛的应用。掌握一次函数的基本概念、图像特征以及相关计算方法,是学好函数知识的关键一步。
以下是一些关于一次函数的练习题及详细解答,帮助同学们更好地理解和巩固这一部分内容。
一、选择题
1. 下列函数中,哪一个是关于 $ x $ 的一次函数?
A. $ y = x^2 + 3 $
B. $ y = \frac{1}{x} $
C. $ y = 5x - 2 $
D. $ y = 2x^2 $
答案:C
解析:一次函数的一般形式为 $ y = kx + b $(其中 $ k \neq 0 $)。只有选项 C 符合这个形式。
2. 若函数 $ y = (m-1)x + 3 $ 是一次函数,则 $ m $ 的取值范围是:
A. $ m = 1 $
B. $ m \neq 1 $
C. $ m > 1 $
D. $ m < 1 $
答案:B
解析:要使该函数为一次函数,必须满足 $ m - 1 \neq 0 $,即 $ m \neq 1 $。
3. 函数 $ y = -2x + 4 $ 的图像是:
A. 从左下向右上倾斜的直线
B. 从左上向右下倾斜的直线
C. 水平线
D. 垂直线
答案:B
解析:一次函数的斜率为负时,图像从左上向右下倾斜。
二、填空题
1. 一次函数 $ y = 3x + 5 $ 的斜率是 ________。
答案:3
2. 若点 $ (2, 7) $ 在函数 $ y = kx + 1 $ 的图像上,则 $ k = $ ________。
答案:3
解析:将 $ x = 2 $,$ y = 7 $ 代入得 $ 7 = 2k + 1 $,解得 $ k = 3 $。
3. 直线 $ y = -x + 6 $ 与 $ y $ 轴的交点坐标是 ________。
答案:(0, 6)
解析:当 $ x = 0 $ 时,$ y = 6 $,所以交点为 $ (0, 6) $。
三、解答题
1. 已知一次函数的图像经过点 $ (1, 3) $ 和 $ (2, 5) $,求这个函数的表达式。
解:设函数为 $ y = kx + b $,将两点代入:
- 当 $ x = 1 $,$ y = 3 $,则 $ 3 = k + b $
- 当 $ x = 2 $,$ y = 5 $,则 $ 5 = 2k + b $
联立方程组:
$$
\begin{cases}
k + b = 3 \\
2k + b = 5
\end{cases}
$$
用第二个方程减第一个方程得:$ k = 2 $,代入得 $ b = 1 $。
答:函数表达式为 $ y = 2x + 1 $。
2. 画出函数 $ y = -\frac{1}{2}x + 3 $ 的图像,并写出它的斜率和截距。
解:
- 斜率 $ k = -\frac{1}{2} $
- 截距 $ b = 3 $
图像是一条从左上向右下倾斜的直线,与 $ y $ 轴交于 $ (0, 3) $。
四、应用题
某快递公司按重量收费,收费标准为每千克 8 元,另收基础运费 10 元。设总费用为 $ y $ 元,重量为 $ x $ 千克,写出总费用与重量之间的关系式,并求出当重量为 5 千克时的总费用。
解:关系式为 $ y = 8x + 10 $。
当 $ x = 5 $ 时,$ y = 8 \times 5 + 10 = 40 + 10 = 50 $ 元。
答:当重量为 5 千克时,总费用为 50 元。
通过以上练习题的训练,可以加深对一次函数的理解,提高解题能力。建议同学们在学习过程中多动手做题,结合图像进行分析,从而更好地掌握一次函数的相关知识。