【一元二次方程综合试题】在初中数学学习中，一元二次方程是一个重要的知识点，它不仅涉及方程的解法，还与实际问题的建模密切相关。为了帮助学生更好地掌握这一部分内容，以下是一份涵盖多种题型的“一元二次方程综合试题”，旨在考察学生的理解能力、计算能力和应用能力。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 0 $
B. $ x^2 + 3x = 0 $
C. $ x^3 - 4x = 0 $
D. $ 2x + y = 5 $
2. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的根是（ ）
A. 1 和 2
B. 2 和 3
C. 3 和 4
D. 4 和 5
3. 若方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为 2 和 -3，则 b 和 c 的值分别是（ ）
A. b=1, c=-6
B. b=-1, c=-6
C. b=1, c=6
D. b=-1, c=6
4. 关于 x 的方程 $ (m-1)x^2 + 2x + 1 = 0 $ 是一元二次方程的条件是（ ）
A. m ≠ 0
B. m ≠ 1
C. m > 1
D. m < 1
5. 如果方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根之和为 5，两根之积为 6，则 p 和 q 的值分别为（ ）
A. p=5, q=6
B. p=-5, q=6
C. p=5, q=-6
D. p=-5, q=-6
二、填空题（每题3分，共15分）
6. 方程 $ 2x^2 - 8 = 0 $ 的解是 __________。
7. 若关于 x 的方程 $ x^2 + kx + 9 = 0 $ 有两个相等的实数根，则 k 的值为 __________。
8. 方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的根为 __________。
9. 若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的判别式为 0，则该方程有 __________ 个实数根。
10. 方程 $ (x - 2)^2 = 9 $ 的解为 __________。
三、解答题（共30分）
11. 解方程：$ x^2 - 6x + 8 = 0 $。（5分）
12. 已知方程 $ x^2 + 2x + m = 0 $ 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围。（5分）
13. 某商品的进价为 80 元，若按售价 100 元出售，每天可卖出 50 件；若每降价 1 元，日销量增加 2 件。设降价 x 元，求日利润最大时的 x 值及最大利润。（10分）
14. 已知方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，且 $ x_1 + x_2 = 5 $，$ x_1 \cdot x_2 = 6 $，求 p 和 q 的值，并写出这个方程。（10分）
四、拓展题（附加题，10分）
15. 若关于 x 的方程 $ x^2 + (k - 2)x + 1 = 0 $ 有两个正实数根，求 k 的取值范围。
参考答案（供教师使用）
一、选择题
1. B
2. B
3. A
4. B
5. B
二、填空题
6. $ x = \pm 2 $
7. $ k = \pm 6 $
8. $ x = 1 $ 或 $ x = 3 $
9. 1
10. $ x = 5 $ 或 $ x = -1 $
三、解答题
11. $ x = 2 $ 或 $ x = 4 $
12. $ m < 1 $
13. 当 $ x = 5 $ 时，最大利润为 1250 元
14. $ p = -5 $，$ q = 6 $，方程为 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $
四、拓展题
15. $ k > 2 $ 且 $ k \neq 4 $
通过这份综合试题，学生可以全面复习一元二次方程的相关知识，包括基本解法、根的性质、实际应用以及拓展思维训练。建议学生在做题过程中注重步骤清晰、逻辑严谨，提高数学思维能力。
