在高中数学的三角函数部分，正弦定理是一个重要的知识点，广泛应用于解三角形的问题中。掌握正弦定理的基本概念和应用方法，对于提高几何问题的解决能力具有重要意义。本文将围绕“1.1.1 正弦定理”这一章节，提供一些典型练习题，并附上详细的解答与分析，帮助学生巩固所学知识。
一、正弦定理基本概念回顾
正弦定理是指在一个任意三角形中，各边与其对角的正弦值的比相等。其数学表达式为：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 分别是角 $ A $、$ B $、$ C $ 的对边。
正弦定理适用于已知两边及其夹角或两角及一边的情况，常用于求解三角形中的未知边或角。
二、典型练习题及解析
题目1：
在△ABC中，已知 $ a = 8 $，$ \angle A = 30^\circ $，$ \angle B = 45^\circ $，求边 $ b $ 的长度。
解析：
首先，根据三角形内角和定理，可得：
$$
\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ
$$
由正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
$$
代入数据：
$$
\frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}
$$
$$
\frac{8}{0.5} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
$$
$$
16 = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow b = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}
$$
答案： $ b = 8\sqrt{2} $
题目2：
在△ABC中，已知 $ \angle A = 60^\circ $，$ \angle B = 75^\circ $，边 $ c = 10 $，求边 $ a $ 的长度。
解析：
先求出 $ \angle C $：
$$
\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ
$$
由正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}
$$
代入数值：
$$
\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 45^\circ}
$$
$$
\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
$$
$$
a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{10 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6}
$$
答案： $ a = 5\sqrt{6} $
题目3：
在△ABC中，已知 $ a = 12 $，$ b = 10 $，$ \angle A = 60^\circ $，求 $ \angle B $ 的大小（保留一位小数）。
解析：
由正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
$$
代入数据：
$$
\frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin B}
$$
$$
\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sin B}
$$
$$
\frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{10 \sqrt{3}}{24} = \frac{5\sqrt{3}}{12}
$$
计算得：
$$
\sin B \approx 0.722 \Rightarrow \angle B \approx \arcsin(0.722) \approx 46.2^\circ
$$
答案： $ \angle B \approx 46.2^\circ $
三、总结
正弦定理是解三角形的重要工具，尤其在已知两个角和一条边，或者两条边和其中一条边的对角时非常有用。通过上述练习题可以看出，熟练掌握正弦定理的公式和应用场景，有助于提升解题效率与准确性。
建议同学们在学习过程中多做相关练习，结合图形理解公式的含义，逐步提高逻辑推理能力和计算技巧。
