在学习高等代数的过程中，第七章的内容通常涉及线性变换和矩阵的相关知识。这一章节是高等代数中的核心部分之一，对于理解更深层次的数学概念至关重要。为了帮助大家更好地掌握这部分内容，以下将对第七章的一些典型习题进行解答。

习题1：线性变换的基本性质

题目：设V是一个有限维向量空间，T: V→V是一个线性变换。证明如果T² = T，则T是幂等的，并且V可以分解为T的像与核的直和。

解答：

首先，根据条件T² = T，我们可以得出T是幂等的。接下来证明V可以分解为T的像与核的直和。

1. 显然，Im(T) ∩ Ker(T) = {0}，因为若v属于两者交集，则Tv = 0且Tv = v，故v = 0。

2. 对于任意v ∈ V，令w = Tv，则v - w ∈ Ker(T)，而w ∈ Im(T)。因此，v可以表示为Im(T)与Ker(T)的元素之和。

3. 结合上述两点，我们得到V = Im(T) ⊕ Ker(T)。

习题2：特征值与特征向量

题目：给定一个n×n矩阵A，其特征多项式为p(λ) = det(A - λI)，其中I为单位矩阵。假设λ₁, λ₂, ..., λₙ是A的所有特征值（重根按重数计算），证明det(A) = λ₁λ₂...λₙ。

解答：

特征多项式p(λ) = det(A - λI)展开后，其常数项即为det(-A) = (-1)^n det(A)。当λ = 0时，p(0) = det(A)，而p(λ) = (λ - λ₁)(λ - λ₂)...(λ - λₙ)，因此p(0) = (-1)^n λ₁λ₂...λₙ。由此可得det(A) = λ₁λ₂...λₙ。

习题3：相似矩阵

题目：设A和B是两个n×n矩阵，证明如果存在可逆矩阵P使得B = P⁻¹AP，则A和B有相同的特征值。

解答：

由于B = P⁻¹AP，我们有det(B - λI) = det(P⁻¹AP - λI) = det(P⁻¹(A - λI)P) = det(P⁻¹)det(A - λI)det(P) = det(A - λI)。因此，A和B具有相同的特征值。

通过以上几个典型的习题解答，我们可以看到线性变换、特征值以及相似矩阵等内容之间的紧密联系。这些知识点不仅是高等代数的基础，也是进一步学习抽象代数和其他数学分支的重要工具。希望同学们能够通过练习加深对这些理论的理解，并灵活运用到实际问题中去。