在数学和物理领域，向量是一种非常重要的工具。它可以帮助我们描述方向和大小，广泛应用于工程学、物理学以及计算机科学中。为了帮助大家更好地理解和使用向量，下面将详细介绍一些常用的向量公式。

一、基本定义与运算

1. 向量加法与减法：

设有两向量A(a₁, a₂, ..., an)和B(b₁, b₂, ..., bn)，则它们的和为C(c₁, c₂, ..., cn)，其中ci = ai + bi；差为D(d₁, d₂, ..., dn)，其中di = ai - bi。

2. 标量乘法：

若k是一个标量，则kA的结果是(ka₁, ka₂, ..., kan)。

二、点积（内积）

点积是两个向量之间的数量积，计算方式如下：

A·B = |A||B|cosθ

其中|A|和|B|分别是向量A和B的模长，θ是它们之间的夹角。

当以坐标形式表示时：

A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + anbn

三、叉积（外积）

叉积产生一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量，并且其方向遵循右手定则。

A×B = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

四、模长（长度）

向量A的模长由下式给出：

|A| = √(a₁² + a₂² + ... + an²)

五、单位向量

一个非零向量除以其模长得到单位向量，即：

 = A / |A|

六、投影

向量A在向量B上的投影长度为：

projBA = (A·B)/|B|

七、角度计算

利用点积可以求得两个向量之间的角度：

cosθ = (A·B) / (|A||B|)

八、平行四边形法则

两个向量形成的平行四边形面积等于这两个向量的叉积的模长。

九、三角形不等式

对于任意三个点A、B、C，都有：

|AB| + |BC| ≥ |AC|

十、旋转矩阵

二维空间中的旋转可以通过以下矩阵实现：

R(θ) =

[cosθ -sinθ]

[sinθcosθ]

以上就是关于向量的一些基础公式介绍。掌握这些知识对于解决实际问题非常重要。希望本文能够对你有所帮助！