二次函数测试题和答案解析

在数学的学习过程中，二次函数是一个非常重要的知识点。它不仅在初中数学中占据重要地位，也是高中乃至大学数学的基础之一。为了帮助大家更好地理解和掌握这一知识点，本文将通过一些典型的测试题目及其详细的答案解析，来加深对二次函数的理解。

首先，让我们来看一道基础的二次函数题目：

例题1：

已知二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a > 0 \)。若该函数的顶点坐标为 (3, -2)，并且经过点 (4, 0)，求此二次函数的具体表达式。

解答：

根据顶点公式，我们可以知道顶点坐标为 \( (-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a})) \)。由题意可知顶点坐标为 (3, -2)，因此有：

\[ -\frac{b}{2a} = 3 \]

\[ f(3) = -2 \]

同时，该函数经过点 (4, 0)，所以有：

\[ 0 = a(4)^2 + b(4) + c \]

通过以上两个条件，我们可以建立一个方程组来解出 \( a \), \( b \), 和 \( c \) 的具体值。经过计算，我们得到：

\[ a = 1, b = -6, c = 7 \]

因此，该二次函数的表达式为：

\[ y = x^2 - 6x + 7 \]

接下来，我们来看一道稍微复杂一点的问题：

例题2：

给定二次函数 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \)，求其图像的顶点坐标以及与 \( x \)-轴的交点。

解答：

对于顶点坐标的求解，我们使用顶点公式 \( x = -\frac{b}{2a} \)。在这里，\( a = 2 \), \( b = -4 \)，所以：

\[ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \]

将 \( x = 1 \) 代入原函数中，得到顶点的 \( y \)-坐标：

\[ y = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 3 \]

因此，顶点坐标为 (1, 3)。

至于与 \( x \)-轴的交点，我们需要解方程 \( 2x^2 - 4x + 5 = 0 \)。通过判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 来判断是否有实数解：

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 5 = 16 - 40 = -24 \]

由于判别式小于零，说明该二次函数的图像与 \( x \)-轴没有交点。

通过这两道例题，我们可以看到，二次函数的分析和应用需要结合多种方法和技巧。希望这些题目和解析能够帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识。

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