在2011年的高考中，湖北省的数学试卷以其较高的难度和创新性而闻名，尤其是理科数学的最后一道压轴题，更是让许多考生感到棘手。本文将通过琴生不等式的应用，对这道题目进行详细解析。

题目回顾

题目大致如下：

设函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求证当 $ x \in [-2, 2] $ 时，$ f(x) $ 的最大值为 3。

解题思路

琴生不等式是处理凸函数或凹函数的一个有力工具。对于本题，我们需要首先判断函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ 在区间 $ [-2, 2] $ 上的性质。

第一步：确定函数的凸凹性

函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ 的二阶导数为：

$$

f''(x) = 6x

$$

当 $ x > 0 $ 时，$ f''(x) > 0 $，函数为凹函数；当 $ x < 0 $ 时，$ f''(x) < 0 $，函数为凸函数。因此，在区间 $ [-2, 2] $ 上，函数 $ f(x) $ 并非单调凸或凹，而是分段凸凹。

第二步：利用琴生不等式

琴生不等式的基本形式为：

$$

f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}

$$

对于凹函数，不等式方向相反。

在区间 $ [-2, 2] $ 上，我们可以选取两个端点 $ x_1 = -2 $ 和 $ x_2 = 2 $ 进行分析：

$$

f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1

$$

$$

f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3

$$

根据琴生不等式，函数的最大值不会超过这两个端点的函数值的最大值。因此，$ f(x) $ 在区间 $ [-2, 2] $ 上的最大值为 3。

第三步：验证结果

为了进一步验证，我们还可以检查区间内的其他点，例如 $ x = 0 $：

$$

f(0) = (0)^3 - 3(0) + 1 = 1

$$

显然，$ f(0) = 1 $ 小于 $ f(2) = 3 $。因此，函数的最大值确实为 3。

总结

通过琴生不等式的应用，我们成功证明了当 $ x \in [-2, 2] $ 时，函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ 的最大值为 3。这种方法不仅简洁明了，而且能够有效地解决此类问题。

希望本文的解析能帮助大家更好地理解琴生不等式的应用，并在未来的考试中灵活运用这一工具。