动量守恒定律是物理学中的一个基本原理，它描述了在没有外力作用的情况下，一个系统的总动量保持不变。这一规律在解决物理问题时具有重要的应用价值。接下来，我们将通过一些具体的习题来加深对动量守恒定律的理解，并提供详细的解答过程。

习题一：碰撞问题

在一个无摩擦的水平面上，有两个质量分别为m₁=2kg和m₂=3kg的小球A和B。初始时刻，小球A以速度v₁=4m/s向右运动，而小球B静止不动。当它们发生完全弹性碰撞后，求两小球的速度。

解答：

根据动量守恒定律，我们可以列出以下方程：

\[ m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} \]

其中，下标i表示初始状态，f表示最终状态。

代入已知条件：

\[ 2×4 + 3×0 = 2v_{1f} + 3v_{2f} \]

此外，在完全弹性碰撞中，动能也守恒，即：

\[ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2f}^2 \]

解上述两个方程组，可以得到最终速度 \( v_{1f} \) 和 \( v_{2f} \) 分别为：

\[ v_{1f} = -\frac{2}{5} \, \text{m/s}, \quad v_{2f} = \frac{22}{5} \, \text{m/s} \]

因此，碰撞后小球A的速度为-0.4m/s（向左），小球B的速度为4.4m/s。

习题二：火箭推进问题

假设有一枚质量为M的火箭，最初静止于地面。火箭内部装有燃料，燃料的质量为m。当燃料燃烧并以相对于火箭的速度u喷出时，求火箭最终的速度v。

解答：

同样利用动量守恒定律，初始时系统总动量为零。设燃料喷出后火箭的速度为v，则燃料的速度为\( v-u \)。于是有：

\[ Mv + mu = 0 \]

解得：

\[ v = -\frac{mu}{M} \]

这意味着火箭将以速度 \( \frac{mu}{M} \) 向前推进。

以上两道题目展示了动量守恒定律在不同场景下的实际应用。通过这些练习，我们能够更好地掌握这一重要概念及其数学表达形式。希望这些例题对你有所帮助！