在数学中，不等式和线性规划是两个重要的概念，它们广泛应用于实际问题的建模与求解。本文将对这两个知识点进行系统梳理，并通过经典例题深入解析，帮助读者更好地掌握相关知识。

一、不等式的基础知识

不等式是表示两个量之间大小关系的数学表达式，常见的形式包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。不等式的基本性质包括：

1. 传递性：若 \(a > b\) 且 \(b > c\)，则 \(a > c\)。

2. 加减法原则：若 \(a > b\)，则 \(a + c > b + c\) 且 \(a - c > b - c\)。

3. 乘除法原则：若 \(a > b\) 且 \(c > 0\)，则 \(ac > bc\)；若 \(c < 0\)，则 \(ac < bc\)。

二、线性规划的概念

线性规划是一种优化技术，用于在一组线性约束条件下寻找目标函数的最大值或最小值。其基本要素包括：

1. 决策变量：表示问题中的未知数。

2. 目标函数：需要最大化或最小化的线性表达式。

3. 约束条件：一组线性不等式或等式。

三、经典例题解析

例题1：已知 \(x + y \leq 10\)，\(x \geq 0\)，\(y \geq 0\)，求目标函数 \(z = 3x + 2y\) 的最大值。

解析：

1. 绘制可行域：根据约束条件绘制平面区域。

2. 确定顶点：找出可行域的顶点坐标。

3. 计算目标函数值：分别计算每个顶点的目标函数值，取最大值。

通过以上步骤，可以得出最优解为 \(x = 10, y = 0\)，目标函数最大值为 \(z = 30\)。

例题2：某工厂生产两种产品A和B，每件产品A需用材料2单位，产品B需用材料3单位，现有材料总量不超过15单位。每件产品A利润为5元，产品B利润为4元。问如何安排生产才能使利润最大？

解析：

1. 设生产A产品 \(x\) 件，B产品 \(y\) 件。

2. 列出约束条件：\(2x + 3y \leq 15\)，\(x \geq 0\)，\(y \geq 0\)。

3. 目标函数：\(z = 5x + 4y\)。

4. 求解：通过图形法或代数法确定最优解。

最终结果为 \(x = 6, y = 1\)，最大利润为 \(z = 34\) 元。

四、总结

不等式和线性规划是解决实际问题的重要工具。通过掌握其基本原理和应用技巧，可以在多种场景下实现高效决策。希望本文的梳理和解析能为读者提供有益的帮助。

以上内容结合了理论与实践，旨在全面展示不等式与线性规划的核心要点及其应用方法。通过实例分析，读者可以更直观地理解相关知识的实际操作过程。