假设我们有一个整数规划问题：

目标函数：

\[ \text{Maximize } Z = 3x + 4y \]

约束条件：

\[ x + y \leq 6 \]

\[ x, y \geq 0 \]

\[ x, y \in \mathbb{Z} \]

首先，我们将这个问题视为一个线性规划问题，忽略整数约束，求解其松弛问题。使用单纯形法或图解法，我们可以得到初始解：

当 \( x + y = 6 \) 时，\( Z = 3x + 4y \) 在边界上达到最大值，即 \( x = 0, y = 6 \)，此时 \( Z = 24 \)。

接下来，我们开始分支。由于 \( x \) 和 \( y \) 必须是整数，我们选择其中一个变量进行分支。这里我们选择 \( x \)，将其分为两个子问题：

分支1：\( x \leq 3 \)

分支2：\( x \geq 4 \)

对于每个分支，我们重新求解其松弛问题，并检查是否有整数解。

在分支1中，当 \( x \leq 3 \) 时，约束变为：

\[ x + y \leq 6 \]

\[ x \leq 3 \]

\[ x, y \geq 0 \]

求解此松弛问题，我们发现最优解为 \( x = 3, y = 3 \)，此时 \( Z = 21 \)。

在分支2中，当 \( x \geq 4 \) 时，约束变为：

\[ x + y \leq 6 \]

\[ x \geq 4 \]

\[ x, y \geq 0 \]

求解此松弛问题，我们发现最优解为 \( x = 4, y = 2 \)，此时 \( Z = 20 \)。

比较两个分支的结果，我们发现分支1的解 \( x = 3, y = 3 \) 是最优解，且满足所有整数约束。

通过这个例子可以看出，分支定界法通过系统地划分问题空间，逐步缩小可行域，最终找到全局最优解。这种方法尤其适用于那些难以直接求解的整数规划问题。