在数学分析中，极限是研究函数性质和解决实际问题的重要工具。无论是高等数学还是工程应用，掌握求解极限的方法都至关重要。本文将系统地介绍几种常见的求极限方法，并通过具体例题加以说明，帮助读者更好地理解和运用这些技巧。

一、基本定义与概念

首先回顾极限的基本定义：若函数f(x)当x趋近于a时，其值无限接近于L，则称L为f(x)在点a处的极限。这一概念虽然简单，但在实际操作中需要结合多种策略来实现。

二、常用求极限方法

1. 直接代入法

对于大多数初等函数而言，当变量趋于特定值时可以直接代入计算。例如，若f(x)=x^2+3x-5，则lim(x→2)f(x)=2^2+32-5=9。

2. 分解因式法

当分子或分母中含有复杂多项式时，可以通过分解因式简化表达式后再取极限。如lim(x→1)((x^3-1)/(x-1))，利用立方差公式可得原式等于lim(x→1)(x^2+x+1)，从而轻松得出结果为3。

3. 洛必达法则

对于未定型（如0/0形式），可以采用洛必达法则进行求导处理。注意，在使用该法则之前必须确保条件满足，即上下两部分均可微且导数存在。

4. 夹逼准则

当无法直接计算时，可以尝试寻找两个易于求出极限的函数夹住目标函数，并证明它们在同一方向上逼近同一个值。

三、典型例题解析

1. lim(x→∞)(1+1/x)^x

此题属于指数型极限问题，可通过自然对数变换转化为更易处理的形式。

设y=(1+1/x)^x，则lny=xln(1+1/x)。利用泰勒展开近似ln(1+u)≈u-(u^2)/2+...，得到lny≈1-x/2x^2+...，最终得出极限为e。

2. lim(x→0)(sinx/x)

这是一个经典的三角函数极限问题，利用几何意义或者泰勒级数展开均可快速得到答案为1。

四、注意事项

在实践中，应根据具体情况灵活选择合适的方法；同时要注意检查所用方法的前提条件是否成立，避免出现错误结论。

综上所述，熟练掌握各种求极限的方法并结合实例练习能够显著提高解决问题的能力。希望本文提供的思路能为广大读者带来启发，并在学习过程中有所帮助。