在计算机科学和图论领域，最短路径问题是一个经典且重要的研究方向。它涉及到在一个加权图中找到两个顶点之间的最短路径，这里的权重可以表示距离、时间或成本等。Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是解决这一问题的一种高效方法，尤其适用于没有负权边的图。

算法的基本思想

Dijkstra算法的核心思想是贪心策略。它从起点开始，逐步扩展到其他节点，每次选择当前已知的最短路径来更新相邻节点的距离。具体步骤如下：

1. 初始化：为所有节点设置一个初始距离值，通常将起点的距离设为0，其余节点设为无穷大。

2. 选择最近节点：从未确定最短路径的节点中选择距离最小的一个节点。

3. 更新邻接节点：对于选中的节点，检查其所有未访问的邻接节点，并尝试通过当前节点更新这些邻接节点的距离。

4. 标记已处理节点：将选中的节点标记为已处理，避免重复计算。

5. 重复过程：重复上述步骤，直到所有节点都被处理完毕或目标节点被确定。

算法的时间复杂度

Dijkstra算法的时间复杂度取决于数据结构的选择。如果使用简单的数组实现优先队列，则时间复杂度为O(V²)，其中V是顶点的数量。若采用更高效的二叉堆或斐波那契堆作为优先队列，则可以降低至O((V + E) log V)，其中E是边的数量。

C/C++ 实现示例

以下是一个基于C++语言的简单实现：

```cpp

include

include

include

using namespace std;

const int INF = 1e9;

struct Edge {

int to;

int weight;

};

void dijkstra(int start, vector> &graph, vector &dist) {

int n = graph.size();

dist.assign(n, INF);

dist[start] = 0;

priority_queue, vector>, greater<>> pq;

pq.emplace(0, start);

while (!pq.empty()) {

auto [current_dist, u] = pq.top(); pq.pop();

if (current_dist > dist[u]) continue;

for (auto &[v, w] : graph[u]) {

if (dist[u] + w < dist[v]) {

dist[v] = dist[u] + w;

pq.emplace(dist[v], v);

}

}

}

}

int main() {

int V, E;

cin >> V >> E;

vector> graph(V);

for (int i = 0; i < E; ++i) {

int u, v, w;

cin >> u >> v >> w;

graph[u].push_back({v, w});

graph[v].push_back({u, w}); // 如果是无向图

}

int source;

cin >> source;

vector dist;

dijkstra(source, graph, dist);

for (int i = 0; i < V; ++i)

cout << "Distance from " << source << " to " << i << ": " << dist[i] << endl;

return 0;

}

```

总结

Dijkstra算法以其直观性和效率成为解决最短路径问题的重要工具之一。尽管它不能处理负权边的情况，但在实际应用中仍然非常广泛。通过合理选择数据结构并优化实现细节，可以进一步提升算法性能，满足更多复杂场景的需求。