简谐运动是一种常见的周期性运动形式，在物理学中具有重要的理论和实际意义。为了更好地理解这种运动的本质，我们需要从基本原理出发，逐步推导出描述其位移变化的数学表达式。
首先，我们定义简谐运动为一种线性回复力与位移成正比的运动。设物体的质量为 \( m \)，其在某一平衡位置附近做往复运动，回复力 \( F \) 满足胡克定律：
\[
F = -kx
\]
其中 \( k \) 为弹性系数（或称劲度系数），\( x \) 表示物体相对于平衡位置的位移，负号表示回复力的方向始终指向平衡点。
根据牛顿第二定律 \( F = ma \)，可以将上述关系改写为微分方程：
\[
m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0
\]
化简后得到标准形式的二阶线性齐次微分方程：
\[
\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0
\]
这里引入了角频率 \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \)，它是系统固有的振动特性。
接下来求解该微分方程。假设解的形式为 \( x(t) = A e^{i\lambda t} \)，代入方程可得特征方程：
\[
\lambda^2 + \omega_0^2 = 0
\]
解此方程可得两个虚数根 \( \lambda = \pm i\omega_0 \)。因此通解可以表示为：
\[
x(t) = C_1 e^{i\omega_0 t} + C_2 e^{-i\omega_0 t}
\]
利用欧拉公式 \( e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \)，上式可重写为：
\[
x(t) = (C_1 + C_2)\cos(\omega_0 t) + i(C_1 - C_2)\sin(\omega_0 t)
\]
令 \( A = C_1 + C_2 \)，\( B = i(C_1 - C_2) \)，则最终解的形式为：
\[
x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)
\]
通过初始条件确定系数 \( A \) 和 \( B \)，即可完整描述简谐运动的位移随时间的变化规律。例如，若初始时刻 \( t=0 \)，位移为 \( x_0 \)，速度为 \( v_0 \)，则有：
\[
x_0 = A, \quad v_0 = -A\omega_0\sin(0) + B\omega_0\cos(0) = B\omega_0
\]
由此可得 \( B = \frac{v_0}{\omega_0} \)，进一步简化为统一形式：
\[
x(t) = x_0\cos(\omega_0 t) + \frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0 t)
\]
这就是简谐运动位移公式的完整推导过程。它不仅揭示了简谐运动的基本性质，也为后续研究更复杂的振动现象奠定了基础。
