在数学学习中，数列是一个重要的基础概念，它不仅贯穿于代数、几何等多个领域，还与实际生活中的许多问题息息相关。掌握好数列的相关知识，不仅能提升解题能力，还能培养逻辑思维和推理能力。下面，我们通过一些典型的数列习题及其解答，帮助大家更好地理解和运用这一知识点。
一、等差数列练习
例题1
已知一个等差数列的第一项为3，公差为4，请写出前五项，并求出第10项的值。
解答
根据等差数列公式：
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
其中 \(a_1\) 是首项，\(d\) 是公差。
将已知条件代入：
\[a_1 = 3, d = 4\]
前五项分别为：
\[a_1 = 3\]
\[a_2 = 3 + (2-1) \cdot 4 = 7\]
\[a_3 = 3 + (3-1) \cdot 4 = 11\]
\[a_4 = 3 + (4-1) \cdot 4 = 15\]
\[a_5 = 3 + (5-1) \cdot 4 = 19\]
第10项的值为：
\[a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 39\]
例题2
若某等差数列的第5项是17，第8项是26，求其首项和公差。
解答
设该等差数列的首项为 \(a_1\)，公差为 \(d\)。根据等差数列通项公式：
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
由题意可得：
\[a_5 = a_1 + 4d = 17 \tag{1}\]
\[a_8 = a_1 + 7d = 26 \tag{2}\]
联立方程(1)和(2)，消去 \(a_1\)：
\[(a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 26 - 17\]
\[3d = 9\]
\[d = 3\]
将 \(d = 3\) 代入方程(1)：
\[a_1 + 4 \cdot 3 = 17\]
\[a_1 + 12 = 17\]
\[a_1 = 5\]
因此，首项为5，公差为3。
二、等比数列练习
例题3
已知一个等比数列的首项为2，公比为3，请写出前四项，并求出第6项的值。
解答
根据等比数列公式：
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
其中 \(a_1\) 是首项，\(q\) 是公比。
将已知条件代入：
\[a_1 = 2, q = 3\]
前四项分别为：
\[a_1 = 2\]
\[a_2 = 2 \cdot 3^{2-1} = 6\]
\[a_3 = 2 \cdot 3^{3-1} = 18\]
\[a_4 = 2 \cdot 3^{4-1} = 54\]
第6项的值为：
\[a_6 = 2 \cdot 3^{6-1} = 2 \cdot 243 = 486\]
例题4
若某等比数列的第3项是8，第5项是32，求其首项和公比。
解答
设该等比数列的首项为 \(a_1\)，公比为 \(q\)。根据等比数列通项公式：
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
由题意可得：
\[a_3 = a_1 \cdot q^2 = 8 \tag{1}\]
\[a_5 = a_1 \cdot q^4 = 32 \tag{2}\]
联立方程(1)和(2)，消去 \(a_1\)：
\[\frac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q^2} = \frac{32}{8}\]
\[q^2 = 4\]
\[q = 2 \quad (\text{取正值})\]
将 \(q = 2\) 代入方程(1)：
\[a_1 \cdot 2^2 = 8\]
\[a_1 \cdot 4 = 8\]
\[a_1 = 2\]
因此，首项为2，公比为2。
总结
通过以上习题可以看出，无论是等差数列还是等比数列，关键在于熟练掌握其通项公式和性质。希望大家在练习中不断总结经验，灵活运用所学知识解决实际问题。如果还有其他疑问，欢迎随时交流探讨！
