学习目标：

1. 理解独立性检验的基本概念。

2. 掌握如何运用卡方分布进行独立性检验。

3. 能够通过实例分析数据间的独立性。

引入：

在统计学中，我们经常需要判断两个变量之间是否存在某种关系。例如，在医学研究中，我们需要判断某种药物是否对疾病的治愈有影响；在市场调查中，我们需要判断性别与消费习惯之间的关系。这些问题都可以通过独立性检验来解决。

步骤一：理解独立性假设

假设我们有两个分类变量X和Y，它们各自有多个类别。我们想要检验的是这两个变量是否相互独立。如果X和Y是独立的，那么对于任意一个类别组合(x, y)，观察到的数据应该符合某种预期分布。

步骤二：构建列联表

将观测数据整理成一个列联表，其中行表示变量X的不同类别，列表示变量Y的不同类别。每个单元格中的数值表示对应类别的观测频数。

步骤三：计算期望频数

根据独立性假设，计算出每个单元格的期望频数。期望频数可以通过以下公式计算：

Eij = (Ri Cj) / N

其中，Ri是第i行的总频数，Cj是第j列的总频数，N是整个样本的总频数。

步骤四：计算卡方统计量

利用实际观测频数Oi和期望频数Eij，计算卡方统计量：

χ² = Σ [(Oi - Eij)² / Eij]

这个统计量衡量了实际观测值与期望值之间的差异。

步骤五：确定自由度并查找临界值

自由度df=(r-1)(c-1)，其中r和c分别是行数和列数。根据自由度和显著性水平α，查表得到临界值。

步骤六：做出决策

比较计算得到的卡方统计量与临界值。如果χ² > χ²临界，则拒绝原假设H0，认为变量X和Y不独立；否则不能拒绝H0，认为变量X和Y可能独立。

练习题：

1. 一家公司想知道员工的工作满意度与其职位级别是否有关系，请设计一个独立性检验方案。

2. 某医院收集了不同年龄段患者对某种治疗方法反应的数据，请使用独立性检验判断年龄与治疗效果是否相关。

总结：

通过本节课的学习，我们了解了独立性检验的基本原理及其应用方法。在实际问题中，合理地选择变量并正确地构造列联表是非常重要的。同时，我们也需要注意选择合适的显著性水平，并结合专业知识解释结果。